[기초 통계] 13. 이산확률변수의 누적분포함수: Cumulative Distribution Function of Discrete Random Variable

  누적분포함수(Cumulative distribution function)는 정의역 X의 값이 증가함에 따라 확률이 점차 누적되는 함수를 말한다.

 

  이전 포스트에서 다룬 확률질량함수와 이번 포스트에서 다룰 누적분포함수의 차이는 다음과 같이 비유할 수 있다.

 

  - 확률질량함수: 불량률 10%인 제품 제조 공정으로부터 n개의 제품을 추출하는 시행에서 불량품 x개를 뽑을 확률

 

  - 누적분포함수: 불량률 10%인 제품 제조 공정으로부터 n개의 제품을 추출하는 시행에서 불량품 x개 이하를 뽑을 확률

 

  이전의 '동전 2회를 던져서 앞면의 개수를 세는 시행'을 다시 예시로 들자.

 

 

  위와 같은 표본 공간과 이산확률변수, 확률질량함수의 관계가 존재한다고 가정하자.

 

  위 예시에 대한 확률질량함수의 그래프는 아래와 같다.

 

 

  위의 확률질량함수에서는 P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 1/2, P(X = 2) = 1/4이다.

 

  이를 누적분포함수로 바꾸면 아래와 같은 그래프가 된다.

 

 

  여기에서 F(X = 0)은 확률질량함수와 동일하게 1/4이지만, F(X = 1)은 1/4 + 1/2인 3/4이고, F(X = 2)부터는 1/4 + 1/2 + 1/4인 1의 값을 가진다.

 

  이처럼 누적분포함수는 확률질량함수에서 해당 X값보다 작은 모든 X값들이 가지는 모든 확률이 누적된 치역을 가진다.

 

  누적분포함수 F(x)에 대한 특성을 수식으로 나타내면 아래와 같다.

 

$$ F(x) = P(X = x) = \underset{t \leq x} \Sigma f(t), for -\infty \leq x \leq \infty $$