[기초 통계] 15. 연속확률변수의 누적분포함수: Cumulative Distribution Function of Continuous Random Variable

  연속확률변수의 누적분포함수는 이산확률변수의 누적분포함수가 그러했던 것처럼 정의역 X의 값이 증가함에 따라 확률이 점차 누적되는 함수이다.

 

  이산확률변수의 특성 상 누적분포함수의 특성이 적분된 함수가 아닌 마치 최대 정수 함수와 같은 형상으로 표현된 것에 반해, 확률밀도함수는 연속확률변수의 특성 상 그 누적분포함수가 마치 확률밀도함수의 적분과 같이 표현된다.

 

  고로, 연속확률변수의 누적분포함수는 곧 해당 확률변수의 확률밀도함수를 적분한 것이나 다를 바 없다. 이를 뒤집어 얘기하면, 누적분포함수를 미분하면 우린 해당 확률변수의 확률밀도함수를 알 수 있다.

 

  확률밀도함수가 f(x)인 연속확률변수 X의 누적분포함수 F(x)는 다음과 같은 특징을 가진다.

 

$$ F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt (-\infty \le x \le \infty) $$

 

  연속확률변수 X의 누적분포함수 F(x)는 확률밀도함수 f(x)에 대해 다음과 같은 성질을 가진다.

 

$$ P(a<X<b) = F(a) - F(b) = \int_{-\infty}^{a}f(t)dt - \int_{-\infty}^{b}f(t)dt $$

 

  누적분포함수들은 대체로 다음과 같은 형상을 가진다.