[기초 통계] 17. 결합밀도함수: Joint Density Function

  결합밀도함수(Joint density function)는 간단히 말해 연속확률변수가 두 개인 확률밀도함수라고 할 수 있다.

 

  f(x, y)를 연속확률변수 X, Y에 대한 결합밀도함수라고 할 때, f(x, y)는 모든 x, y와 xy 평면 상 어떤 영역 A에 대해 다음과 같은 세 가지 특징을 가진다.

 

$$ \begin{flalign*} 1. f(x, y) \geq 0 && \end{flalign*} $$

$$ \begin{flalign*} 2. \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dx dy = 1 && \end{flalign*}$$

$$ \begin{flalign*} 3. P[(x,y) \in A] = \int \int_{A} f(x,y) dx dy && \end{flalign*} $$

 

  관련된 예제 하나를 풀어보자.

 

 

  우리가 구해야 할 확률은 영역 A에 대한 확률이므로, x와 y의 두 미지수에 대해 주어진 범위대로 적분을 수행하면 쉽게 그 확률을 얻을 수 있다.

 

$$ \begin{align} \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \int_{\frac{1}{2}}^{0} f(x,y) dx dy & = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \int_{\frac{1}{2}}^{0} \frac{2}{5}(2x+5y) dx dy \\ & = \frac{19}{160} \end{align} $$