[기초 통계] 16. 결합확률분포: Joint Probability Distribution

  결합확률분포(Joint probability distribution)는 간단히 말해 이산확률변수가 두 개인 확률질량함수라고 할 수 있다.

 

  f(x, y)를 이산확률변수 X, Y에 대한 결합확률분포라고 할 때, P(X = x, Y = y) = f(x, y)는 모든 x, y와 xy 평면 상 어떤 영역 A에 대해 다음 세 가지 특징을 가진다.

 

$$ \begin{flalign*} 1. f(x, y) \geq 0 && \end{flalign*} $$

$$ \begin{flalign*} 2. \underset{x}{\Sigma} \underset{y}{\Sigma} f(x, y) = 1 && \end{flalign*}$$

$$ \begin{flalign*} 3. P[(x,y) \in A] = \Sigma \underset{A}{\Sigma} f(x,y) && \end{flalign*} $$

 

  관련된 예제 하나를 풀어보자.

 

 

  먼저 꺼내지는 공의 개수는 2개로 고정되어 있으므로 X + Y는 2 이하이고, 꺼내진 공을 다시 채워넣는다는 언급이 없으니 해당 추출은 비복원추출인 것으로 추측할 수 있다.

 

  위 조건을 고려하여 나올 수 있는 모든 순서쌍을 생각하면 아래와 같다.

 

 

  이 순서쌍들의 확률을 각각 구하여야 한다. 예시로 (0, 0)과 (1, 0)의 순서쌍을 구하면 아래와 같다.

 

$$ \begin{align} f(0,0) & = \frac{ _{3}C_{2} }{ _{8}C_{2} } \\ & = \frac{3}{28} \end{align} $$

 

  분자는 파란 공과 빨간 공을 제외하고 초록 공 3개에서만 공 2개를 추출하는 경우의 수, 분모는 전체 8개의 공에서 공 2개를 추출하는 경우의 수이다. 분자를 분모로 나눠주면 순서쌍 (0, 0)의 확률을 3/28로 구할 수 있다.

 

$$ \begin{align} f(1,0) & = \frac{ _{3}C_{1} \times _{3}C_{1} }{ _{8}C_{2} } \\ & = \frac{6}{28} \\ & = \frac{3}{14} \end{align} $$

 

  분자는 빨간 공을 제외하고 파란 공 3개 중 1개, 초록 공 3개 중 1개를 추출하는 경우의 수, 분모는 전체 8개의 공에서 공 2개를 추출하는 경우의 수이다. 분자를 분모로 나눠주면 순서쌍 (1, 0)의 확률을 3/14로 구할 수 있다.

 

  위와 같이 모든 순서쌍들의 확률을 구해주면 아래와 같다.

 

 

  위와 같이 각 순서쌍들에 대한 확률들이 정돈된 표를 결합확률분포표라고 한다. 이것이 예제 a) 의 정답이다.

 

  예제 b) 의 정답은 아래와 같다.

 

$$ \begin{align} P[(X,Y) \in A] & = f(0,0) + f(1,0) + f(0,1) \\ & = \frac{3}{28} + \frac{9}{28} + \frac{3}{14} \\ & = \frac{9}{14} \end{align} $$