통계학/연속확률분포

[연속확률분포] 5. f-분포: f-Distribution

f-분포(f-distribution)는 두 모집단의 모분산을 서로 비교하는 f-검정(Test) 등에 사용되는 연속확률분포의 한 종류이다. f-분포의 확률변수는 독립적인 두 카이제곱확률변수의 비율을 나타내는 분수꼴의 확률변수로 정의할 수 있다. f-분포의 정의는 아래와 같이 정의할 수 있다. 자유도 $ t_{1} $을 가진 카이제곱분포 $ V_{1} ~ \chi^{2}_{t1} $와 자유도 $ t_{2} $를 가진 카이제곱분포 $ V^{2}_{t2} $가 서로 독립일 때, $$ F = \frac{V_{1}/t_{1}}{V_{2}/t_{2}} \sim F_{t_{1}, t_{2}} $$ 를 분자 자유도(Numerator's Degree of Freedom) $ t_{1} $과 분모 자유도(Denominato..

2023. 3. 20. 22:46

통계학/연속확률분포

[연속확률분포] 4. t-분포: t-Distribution

t-분포(t-distribution)는 연속확률분포의 일종으로, 통계학에선 주로 모분산을 모를 때 모평균을 구하는 t-검정(t-test)에 활용되는 연속확률분포이다. t-분포는 영국의 통계학자 윌리엄 고셋(William Sealy Gosset, 1876 - 1937)이 처음 제안한 연속확률분포로, 윌리엄 고셋이 이 분포를 제안했을 때 스튜던트(Student)라는 가명을 사용하였기에 "스튜던츠 t-분포(Student's t-distribution)"라고도 불린다. t-분포의 정의는 아래와 같이 정의할 수 있다. 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z ~ $ (0, 1) $과 자유도 k를 가진 카이제곱확률변수 V ~ $ \chi^{2}_{t} $가 서로 독립일 때, $$ t = \frac{Z}{(\frac{V}{..

2023. 3. 16. 17:07

통계학/연속확률분포

[연속확률분포] 3. 카이제곱분포: Chi-Squared Distribution

카이제곱분포(Chi-Squared Distribution)는 연속확률분포의 일종으로, 통계학의 여러 검정(Test)에서 폭넓게 사용되는 중요한 연속확률분포 중 하나이다. 카이제곱분포에서 "카이"는 그리스 문자 "Chi", 즉 $ \chi $를 의미하며, 통계학에서는 $ \chi $를 사용해 카이제곱분포의 기호인 $ \chi ^{2} $를 나타내기도 한다. 카이제곱분포는 아래와 같이 정의할 수 있다. $ Z^{1}, Z^{2}, \cdots, Z^{t} $가 서로 독립이며, 표준정규분포 $ N (0, 1) $을 따르는 확률변수들이라고 할 때, $$ U = \sum_{i=1}^t Z_{i}^{2} $$ 를 자유도가 t인 카이제곱확률변수 $ \chi^{2} $라고 한다. 해당 카이제곱확률변수의 카이제곱분포는 ..

2023. 3. 15. 14:17

통계학/연속확률분포

[연속확률분포] 2. 정규분포: Normal Distribution

정규분포(Normal Distribution) 또는 가우스 분포(Gaussian Distribution)는 독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855)가 제시한 연속확률분포 중 하나이다. 통계학을 공부하다 보면 정말 많은 곳에서 정규분포 모양의 확률분포를 확인할 수 있다. 정규분포(Normal Distribution)이라는 이름이 붙은 이유도 비슷한 맥락이다. 정말 많은 분야에서 생각지도 못한 정규분포의 확률분포를 찾아볼 수 있기 때문에, 분포의 이름에 'Normal'을 붙여 정규분포(Normal Distribution)이라고 이름을 지은 것이다. 어떤 정규분포의 표준편차를 $ \sigma $, 평균을 $ \mu $라고 할 때, 정규분포의 확률밀도함..

2023. 3. 9. 22:49

통계학/연속확률분포

[연속확률분포] 1. 연속균등분포: Continuous Uniform Distribution

연속확률분포(Continuous Probability Distribution)는 연속확률변수를 확률변수로 가지는 확률분포를 말한다. 연속균등분포(Continuous Uniform Distribution)는 연속확률분포의 일종으로, 연속확률분포 중 가장 기초적인 확률분포이다. 연속균등분포(Continuous Uniform Distribution)는 특정 범위 내에서 확률이 균등하게 나타나는 연속확률분포를 말한다. 이산균등분포(Discrete Uniform Distribution)와 비슷하지만, 이산균등분포와는 달리 확률변수가 연속형 자료라는 것이 이산균등분포와의 차이점이라고 할 수 있다. 연속균등분포는 연속확률변수를 다루는 특성 상, 이산균등분포와는 달리 확률변수의 경우의 수에 따른 균등한 분포가 아니라 ..

2023. 3. 8. 22:51

통계학/이산확률분포

[이산확률분포] 9. 포아송 분포: Poisson Distribution

포아송 분포(Poisson Distribution)는 단위공간 혹은 단위시간 동안 특정 사건이 발생하는 횟수에 대해 다루는 이산확률분포이다. 포아송 분포는 프랑스의 수학자 시메옹 드니 포아송(Simeon Denis Poisson, 1781 - 1840)이 자신의 저서에서 처음으로 제시하였다. 포아송 분포는 단위공간 혹은 단위시간 내에 특정 사건이 발생하는 횟수에 대해 다루는데, 예를 들어서 식품 가게 A에 1시간 동안 방문하는 손님의 수가 4.5명일 때, 30분 동안 3명의 손님이 올 확률에 대해 구한다면 우리는 포아송 분포를 활용하여 그 확률을 구할 수 있는 것이다. 단위공간 혹은 단위시간 내의 특정 사건이 발생하는 평균 횟수를 $ \lambda $, 목표하는 특정 사건의 발생 횟수를 x라고 할 때, ..

2023. 3. 8. 22:00