[연속확률분포] 4. t-분포: t-Distribution

  t-분포(t-distribution)는 연속확률분포의 일종으로, 통계학에선 주로 모분산을 모를 때 모평균을 구하는 t-검정(t-test)에 활용되는 연속확률분포이다.

 

  t-분포는 영국의 통계학자 윌리엄 고셋(William Sealy Gosset, 1876 - 1937)이 처음 제안한 연속확률분포로, 윌리엄 고셋이 이 분포를 제안했을 때 스튜던트(Student)라는 가명을 사용하였기에 "스튜던츠 t-분포(Student's t-distribution)"라고도 불린다.

 

  t-분포의 정의는 아래와 같이 정의할 수 있다.

 

  표준정규분포를 따르는 확률변수 Z ~ $ (0, 1) $과 자유도 k를 가진 카이제곱확률변수 V ~ $ \chi^{2}_{t} $가 서로 독립일 때,

 

$$ t = \frac{Z}{(\frac{V}{k})} $$

 

  를 자유도 k를 가진 t-분포 확률변수라 하고, 이를 t ~ $ t_{k} $라고 한다.

 

  자유도가 k인 t-분포를 가진 확률변수 X의 기댓값과 분산은 아래와 같다.

 

$$ \begin{align} & E(X) = 0 \\ & Var(X) = \frac{t}{t-2} \quad (t > 2) \end{align} $$