[기초 통계] 24. 마르코프 부등식: Markov's Inequality

  마르코프 부등식(Markov's Inequality)은 확률과 기댓값 사이의 관계를 설명하는 통계학의 절대부등식이다. 이름의 유래는 러시아의 수학자 안드레이 마르코프(Andrai Markov, 1856 ~ 1922)에게서 유래했다.

 

  마르코프 부등식에 따르면 음이 아닌 확률변수 X와 상수 t에 대해 아래의 식이 성립한다.

 

$$ \frac{E(X)}{t} \ge P(X \ge t) $$

 

  음이 아닌 확률변수 X에 대해 이산확률변수의 경우 마르코프 부등식의 증명은 아래와 같이 할 수 있다.

 

$$ \begin{flalign*} E(X) & = \overset{\infty}{\underset{x = 1}{\Sigma}} x \cdot f(x) \\ & = \overset{t - 1}{\underset{x = 1}{\Sigma}} x \cdot f(x)+ \overset{\infty}{\underset{x = t}{\Sigma}} x \cdot f(x) \\ & \ge \overset{\infty}{\underset{x = t}{\Sigma}} x \cdot f(x) \\ & \ge \overset{\infty}{\underset{x = t}{\Sigma}} t \cdot f(x) \, (Assume \, that \, t = min \, x) \\ & \ge \overset{\infty}{\underset{x = t}{\Sigma}} t \cdot f(x) = \overset{\infty}{\underset{x = t}{\Sigma}} t \cdot P(X = x) \\ \\ \therefore E(X) & \ge \overset{\infty}{\underset{x = t}{\Sigma}} t \cdot P(X = x) \\ & \ge t \overset{\infty}{\underset{x = t}{\Sigma}} P(X = x) \\ & \ge t \cdot P(X \ge t) \\ \\ \therefore E(X) & \ge t \cdot P(X = x) \Longrightarrow \frac{E(X)}{k} \ge P(X \ge k) \end{flalign*} $$

 

  음이 아닌 확률변수 X에 대해 연속확률변수의 경우 마르코프 부등식의 증명은 아래와 같이 할 수 있다.

 

$$ \begin{flalign*} E(X) & = \int_{0}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\ & = \int_{t}^{\infty} x \cdot f(x) dx + \int_{0}^{t} x \cdot f(x) dx \\ & \ge \int_{t}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\ & \ge \int_{t}^{\infty} t \cdot f(x) dx \, (Assume \, that \, t = min \, x) \\ & \ge \int_{t}^{\infty} t \cdot f(x) dx = \int_{t}^{\infty} t \cdot P(X = x) \\ \\ \therefore E(X) & \ge \int_{t}^{\infty} t \cdot P(X = x) \\ & \ge t \int_{t}^{\infty} P(X = x) \\ & \ge tP(X \ge t) \\ \\ \therefore E(X) & \ge t \cdot P(X = x) \Longrightarrow \frac{E(X)}{k} \ge P(X \ge k) \end{flalign*} $$