[기초 통계] 3. 사건: Events

  사건(Event)이란 표본 공간의 부분집합을 일컫는 말이다.

 

  예를 들어서 6면 주사위를 던지는 시행에서의 표본 공간이 아래와 같다고 가정하자.

 

$$ S = \begin{Bmatrix} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \end{Bmatrix} $$

 

  이 때 결괏값 중 짝수인 모든 경우에 대한 사건은 아래와 같다.

 

$$ 사건 A = \begin{Bmatrix} 2, 4, 6 \end{Bmatrix} $$

 

  사건은 그 조건에 따라 여러 가지 종류가 존재한다.

 

  1. 전사건(Total event): 표본 공간 S의 모든 원소를 포함하는 사건.

 

  2. 공사건(Null event): 표본 공간 S의 어느 원소도 포함하지 않는 사건으로, 기호로는 공집합 기호 $ \phi $ 로 나타낸다.

 

  3. 곱사건(Intersection event): 둘 이상의 어떤 사건들이 동시에 일어나는 사건으로, 기호로는 교집합 기호를 활용하여 $ A \cap B $ 와 같은 형식으로 나타낸다.

 

  4. 합사건(Union event): 둘 이상의 어떤 사건들 중 적어도 한 사건은 일어나는 사건으로, 기호로는 합집합 기호를 활용하여 $ A \cup B $ 와 같은 형식으로 나타낸다.

 

  5. 여사건(Complementary event): 어떤 사건이 일어나지 않는 모든 경우를 포함한 사건으로, 기호로는 여집합 기호를 활용하여 $ A^{c} $ 와 같은 형식으로 나타낸다.

 

  6. 배반사건(Mutually exclusive event): 두 개의 사건 A와 B가 있을 때 A가 일어나면 B가 일어날 수 없고, 반대로 B가 일어나면 A가 일어날 수 없을 때, 이 두 사건은 배반사건이라고 부른다. 즉, 서로 원소를 공유하지 않는다.

 

  사건과 관련된 여러 가지 법칙들 또한 존재한다. 사건은 일종의 부분집합이므로, 사건에 대해서도 집합의 연산법칙인 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 드 모르간의 법칙(De Morgan's Law)가 성립한다.

 

  집합의 연산법칙들은 아래와 같다.

 

  1. 교환법칙: 합집합(합사건)과 교집합(곱사건)에서, 집합 간의 위치는 서로 뒤바뀔 수 있다. 단, 여집합(여사건)과 차사건(차집합)에서는 성립하지 않는다.

 

$$ \begin{align} & A \cup B = B \cup A \\ & A \cap B = B \cap A \\ & A - B \ne B - A \end{align} $$

 

  2. 결합법칙: 합집합과 교집합을 다루는 집합의 사칙연산에서 계산의 우선순위, 즉 괄호의 위치는 바뀔 수 있다. 단, 여집합과 차집합에서는 성립하지 않는다.

 

$$ \begin{align} & ( A \cup B ) \cup C = A \cup ( B \cup C) \\ & ( A \cap B ) \cap C = A \cap ( B \cap C) \\ & ( A - B ) - C \ne A - ( B - C) \end{align} $$

 

  3. 분배법칙

 

$$ \begin{align} & A \cap ( B \cup C) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C) \\ & A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) \end{align} $$

 

  4. 드 모르간의 법칙: 두 집합의 합집합의 여집합은 두 집합의 여집합의 교집합과 같고, 두 집합의 교집합의 여집합은 두 집합의 여집합의 합집합과 같다.

 

$$ \begin{align} & ( A \cup B )^{c} = A^{c} \cap B^{c} \\ & ( A \cap B )^{c} = A^{c} \cup B^{c} \end{align} $$

 

  아래는 사건과 집합의 연산법칙에 대한 간단한 예제이다.