[기초 통계] 7. 확률의 공리적 정의: Probability

  확률(Probability)이란 어떤 사건이 일어날 가능성, 또는 그를 나타낸 비율을 말한다.

 

  확률의 정의는 각 학문에 따라 조금씩 달라지기도 한다. 확률의 사전적 정의를 정의하는 과정에서 계속해서 수학의 학문적 진보가 이뤄졌고, 그에 따라 확률의 기존 정의를 벗어나는 새로운 경우들이 발견되었으므로, 확률에 대한 확률의 기존의 정의들은 계속해서 꾸준한 수정을 거듭해야만 했기 때문이다.

 

  현대에 들어서서는 확률의 정의가 각 학문에 따라 조금씩 달라지기는 하나, 확률이란 모든 경우의 수에 대해 특정 사건이 발생하는 비율이라는 것에 대해선 기본적인 틀을 같이 한다.

 

  보통 통계학에서는 모든 경우의 수에 대해 특정 사건이 발생하는 비율을 말한다.

 

  통계학에서 이 확률은 기본적으로 다음과 같은 특징을 지닌다.

 

$$ 0 \le P(A) \le 1, P(\phi)=0, P(S)=1 $$

 

  모든 사건들은 0과 1 사이의 확률을 가지고, 공사건은 0의 확률, 전사건은 1의 확률을 가진다. 확률 0은 그 사건이 절대 일어날 수 없다는 것을 의미하고, 확률 1은 그 사건이 무조건 일어난다는 것을 의미한다.

 

  일반적으로 한 번의 시행에서 나타날 수 있는 모든 경우의 수의 집합을 표본 공간이라 하고, 그 표본 공간의 부분집합을 사건이라고 한다.

 

  표본 공간 S에 대한 사건 A의 확률 P는 표본 공간 S의 원소의 수를 N, 사건 A의 원소의 수를 n라고 할 때, 아래와 같다.

 

$$ P(A)=\frac{n}{N} $$

 

  사건 A와 사건 B가 존재할 때, 두 사건의 합사건의 확률은 아래와 같다.

 

$$ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) $$

 

  사건 A와 사건 B가 서로 배반사건일 때, 두 사건의 합사건의 확률은 아래와 같다.

 

$$ P(A \cup B)=P(A)+P(B) $$

 

  이 둘을 합쳐 확률의 덧셈정리(Addition law of probability)라고 한다.

 

  또한, 배반사건의 합사건의 확률은 사건이 두 개 이상인 경우에도 똑같이 적용할 수 있다.

 

$$ P(A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A _{n})=P(A_{1})+P(A_{2})+...+P(A_{n}) $$

 

  또한, 사건 A, 사건 B, 사건 C 세 사건의 합사건의 확률은 아래와 같다.

 

$$ \begin{align} P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)\\ -P(A \cap B)-P(B \cap C)-P(A \cap C)\\ +P(A \cap B \cap C) \end{align} $$

 

  또한 사건 A와 사건 A의 여사건인 사건 A'이 존재할 때,

 

$$ P(A)+P(A')=1 $$

 

  이다.