[기초 통계] 9. 전체 확률의 법칙: Law of Total Probability

  전체 확률의 법칙(Law of total probability)은 조건부 확률(Conditional probability)를 활용한 법칙 중 일종이다.

 

  예를 들어서 아래와 같이 여러 개의 사건이 있다고 가정하자.

 

$$ 사건 A, 사건 B_{1}, 사건 B_{2}, ..., 사건 B{k} $$

 

  이 때 사건 A를 제외한 사건들에게 두 가지 조건이 있을 시, 전체 확률의 법칙이 성립한다.

 

  1. 사건 B들은 서로 배반사건(=상호배타적)이다.

 

  2. 사건 B들의 합집합은 전체 표본 공간 S와 같다.

 

$$ B_{i} \cap B_{k} = \phi $$

 

$$ B_{1} \cup B_{2} \cup ... \cup B_{k} = S $$

 

  이 두 조건을 만족하면 아래와 같은 식이 성립한다.

 

$$ \begin{align} P(A) & = P(A \cap B_{1}) + P(A \cap B_{2}) + ...\\ & = \Sigma ^k _{i=1} P(A \cap B_{i})\\ & = P(B_{1})P(A|B_{1}) + P(B_{2})P(A|B_{2}) + ...\\& = \Sigma ^k _{i=1} P(B_{i})P(A|B_{i}) \end{align}$$

 

  전체 확률의 법칙을 벤 다이어그램으로 나타내면 아래와 같다.

 

 

  위와 같이 사건 A와 사건 B들이 존재한다고 가정했을 때,

 

 

  사건 A와 사건 B들의 교집합들의 확률을 모두 모으면 이는 곧 사건 A의 확률과 다르지 않을 것이다.

 

  이를 조건부 확률을 활용하여 수식으로 정리한 것이 바로 전체 확률의 법칙이다.