[이산확률분포] 6. 음이항 분포: Negative Binomial Distribution

  음이항 분포(Negative Binomial Distribution)는 기하 분포(Geometric Distribution)를 일반화시킨 확률분포이다.

 

  음이항 분포와 기하 분포의 차이점은 아래와 같이 정리할 수 있다.

 

  음이항 분포는 '성공 확률이 p인 베르누이 시행 A를 여러 번 시행해 k 번째 성공할 때까지의 확률'에 대해 다룬다.

 

  기하 분포는 '성공 확률이 p인 베르누이 시행 A를 여러 번 시행해 처음 성공할 때까지의 확률'에 대해 다룬다.

 

  즉, 음이항 분포에서 k에 1을 대입하였을 때의 특수한 경우를 따로 기하 분포라는 이름으로 부르는 것이다.

 

  베르누이 시행 A에 대해, x: A가 k 번째 성공할 때까지 시도한 A의 횟수, k: 목표하는 성공한 베르누이 시행의 횟수, p: 베르누이 시행 A가 성공할 확률이라고 할 때, 음이항 분포의 확률질량함수 f(x)는 아래와 같다.

 

$$ f(x) = _{x-1}C_{k-1} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{x-k} $$

 

  음이항 분포의 확률변수 X의 기댓값과 분산은 아래와 같다.

 

$$ \begin{align} & E(X) = \frac{k}{p} \\ & Var(X) = \frac{k(1-p)}{p^2} \end{align} $$

 

  음이항 분포의 확률질량함수, 기댓값, 분산을 구하는 식에서 k에 1을 대입하면 기하 분포의 확률질량함수, 기댓값, 분산과 동일하다는 사실을 확인할 수 있다.