[이산확률분포] 3. 다항 분포: Multinomial Distribution

  베르누이 분포(Bernouli Distribution)와 이항 분포(Binomial Distribution)는 결과가 성공/실패, 앞면/뒷면과 같이 단 두 개만 존재할 때의 이산확률분포였다. 다항 분포(Multinomial Distribution)는 결과가 3개 이상인 시행에 대해 다루는 이산확률분포라고 할 수 있다.

 

  다항 분포에서 결과의 개수가 2개면 그것은 이항 분포와 같다. 이항 분포를 확장시키면 다항 분포라고 할 수 있다.

 

  총 시행 횟수를 n이라 하고, x1, x2, x3 등을 각 결과들의 횟수, p1, p2, p3 등을 각 결과들의 확률이라고 할 때, 다항 분포의 확률질량함수 f(x)는 아래와 같다.

 

$$ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{k}) = \frac{n!}{x_{1}!x_{2}!x_{3}! \cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}p_{3}^{x_{3}} \cdots p_{k}^{x_{k}} $$

 

  원하는 결과 xi에 대한 기댓값과 분산, 공분산은 아래와 같다.

 

$$ \begin{align} & E(X_{i}) = np_{i} \\ & Var(X) = np_{i}(1-p_{i}) \\ & Cov(X_{i}, X_{j}) = -np_{i}p_{j} \quad (i \ne j) \end{align} $$