통계학/기초 통계

[기초 통계] 15. 연속확률변수의 누적분포함수: Cumulative Distribution Function of Continuous Random Variable

연속확률변수의 누적분포함수는 이산확률변수의 누적분포함수가 그러했던 것처럼 정의역 X의 값이 증가함에 따라 확률이 점차 누적되는 함수이다. 이산확률변수의 특성 상 누적분포함수의 특성이 적분된 함수가 아닌 마치 최대 정수 함수와 같은 형상으로 표현된 것에 반해, 확률밀도함수는 연속확률변수의 특성 상 그 누적분포함수가 마치 확률밀도함수의 적분과 같이 표현된다. 고로, 연속확률변수의 누적분포함수는 곧 해당 확률변수의 확률밀도함수를 적분한 것이나 다를 바 없다. 이를 뒤집어 얘기하면, 누적분포함수를 미분하면 우린 해당 확률변수의 확률밀도함수를 알 수 있다. 확률밀도함수가 f(x)인 연속확률변수 X의 누적분포함수 F(x)는 다음과 같은 특징을 가진다. $$ F(x) = P(X \le x) = \int_{-\inft..

2023. 1. 25. 16:53

통계학/기초 통계

[기초 통계] 14. 확률밀도함수: Probability Density Function

확률변수 중에서 연속형 자료(Continuous data)를 다루는 확률변수를 특별히 연속확률변수(Continuous random variable)이라고 부른다. 연속확률변수의 결과, 즉 실수값들에 대해 해당 값들에게 확률을 대응시키는 함수를 확률밀도함수(Probability density function)이라고 부른다. 확률밀도함수는 확률질량함수의 대상이 이산형 자료에서 연속형 자료로 옮겨 간 것이다. 하지만 확률질량함수는 정의역으로 정수만을 가지기 때문에 함수의 모양이 xy평면 위의 점들이 띄엄띄엄 그려지는 반면, 확률밀도함수는 정의역이 연속된 실수 전체이기 때문에 일반적인 선형대수에서 다루는 다항함수처럼 함수가 연속된 모양을 가진다. 가장 대표적인 확률밀도함수로 정규분포(Normal distribu..

2023. 1. 24. 19:00

통계학/기초 통계

[기초 통계] 13. 이산확률변수의 누적분포함수: Cumulative Distribution Function of Discrete Random Variable

누적분포함수(Cumulative distribution function)는 정의역 X의 값이 증가함에 따라 확률이 점차 누적되는 함수를 말한다. 이전 포스트에서 다룬 확률질량함수와 이번 포스트에서 다룰 누적분포함수의 차이는 다음과 같이 비유할 수 있다. - 확률질량함수: 불량률 10%인 제품 제조 공정으로부터 n개의 제품을 추출하는 시행에서 불량품 x개를 뽑을 확률 - 누적분포함수: 불량률 10%인 제품 제조 공정으로부터 n개의 제품을 추출하는 시행에서 불량품 x개 이하를 뽑을 확률 이전의 '동전 2회를 던져서 앞면의 개수를 세는 시행'을 다시 예시로 들자. 위와 같은 표본 공간과 이산확률변수, 확률질량함수의 관계가 존재한다고 가정하자. 위 예시에 대한 확률질량함수의 그래프는 아래와 같다. 위의 확률질량..

2023. 1. 24. 17:33

통계학/기초 통계

[기초 통계] 12. 확률질량함수: Probability Mass Function

확률변수(Random variable) 중에서 이산형 자료(Discrete data)를 다루는 확률변수를 특별히 이산확률변수(Discrete random variable)이라고 부른다. 이산확률변수의 결과, 즉 실수값들에 대해 해당 값들에게 확률을 대응시키는 함수를 확률질량함수(Probability mass function)이라고 부른다. 동전을 2회 던져서 앞면의 개수를 세는 시행을 그 예로 들어 설명하면 아래와 같다. - 동전을 2회 던지는 시행의 표본 공간은 위와 같다. S = { HH, HT, TH, TT } (H는 앞면, T는 뒷면) - 이 표본 공간의 각 원소들을 동전 앞면의 수에 따라 확률변수로 대응시키면 아래와 같다. - 이렇게 대응된 각 실수에게 확률을 부여하면 아래와 같다. - 이렇게 ..

2023. 1. 24. 15:33

통계학/기초 통계

[기초 통계] 11. 확률변수: Random Variable

확률변수(Random variable)이란 일종의 함수로, '표본 공간 내의 원소를 각각 수치적인 실수와 대응시킨 함수'를 확률변수라고 한다. 확률변수의 예시는 아래와 같다. - 동전을 2회 던지는 시행이 존재할 때, 그에 대한 표본 공간은 아래와 같다. - S = { HH, HT, TH, TT} (H는 동전의 앞면, T는 동전의 뒷면) - 여기에서 우리의 관심사는 '동전을 2회 던지는 시행에서 앞면이 얼마나 나왔는가'이다. 이에 대해 각 원소들마다 포함하고 있는 앞면의 수다. 해당 시행에서 나올 수 있는 앞면의 수는 0 (TT), 1 (HT, TH), 2 (HH)이다. 이를 그림으로 나타내면 아래와 같다. - HH는 2, HT와 TH는 1, TT는 0이라는 실수에 각각 대응시킬 수 있다. 이는 마치 정..

2023. 1. 23. 23:51

통계학/기초 통계

[기초 통계] 10. 베이즈 정리: Bayes' Theorem

베이즈 정리(Bayes' Theorem)은 조건부 확률(Conditional probability)를 기반으로 잉글랜드의 목사 토머스 베이즈(Thomas Bayes, 1702-1761)가 제시한 정리이다. 베이즈 정리는 확률의 곱셈정리와 전체 확률의 법칙을 활용하여 증명할 수 있다. 베이즈 정리의 공식과 그 증명은 아래와 같다. $$ \begin{align} P(B|A) & = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}\\ & = \frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}\\ & = \frac{P(B)P(A|B)}{P(A \cap B) + P(A \cap B')}\\ & = \frac{P(B)P(A|B)}{P(B)P(A|B)+P(B')P(A|B')} \end{align} $$ 베이즈 정리의 의미는 조건..

2023. 1. 22. 08:55