통계학/이산확률분포

[이산확률분포] 8. 이산균등분포: Discrete Uniform Distribution

이산균등분포(Discrete Uniform Distribution)는 가장 기초적인 이산확률분포 중 하나로, 말 그대로 균등한 확률을 가진 이산확률분포를 이르는 말이다. 가장 대표적인 이산균등분포의 예시로는 6면 주사위를 굴리는 예시를 들 수 있다. 6면 주사위를 굴리면 1, 2, 3, 4, 5, 6의 숫자가 나올 확률은 각각 똑같이 $ \frac{1}{6} $일 것이다. 이처럼 확률변수가 $ k_{1}, k_{2}, k_{3}, ..., k_{n} $과 같이 n개의 값을 가질 때, 각 $ k_{i} $에 대한 확률이 $ \frac{1}{n} $이 되는 이산확률분포를 이산균등분포라는 이름으로 부른다. 전체 표본의 수를 N이라고 할 때, 이산균등분포의 확률질량함수 f(x)는 아래와 같다. $$ f(x) =..

2023. 3. 8. 20:19

통계학/이산확률분포

[이산확률분포] 7. 음초기하 분포: Negative Hypergeometric Distribution

음초기하 분포(Negative Hypergeometric Distribution)는 음이항 분포(Negative Binomial Distribution)과 유사한 성질을 가지고 있는 이산확률분포 중 하나이다. 음초기하 분포는 '특정 시행 A를 여러 번 시행해 k 번째 성공할 때까지의 확률'을 다룬다. 음이항 분포와 다른 점은 '베르누히 시행'에 대해 다루지 않는다는 점과, 그렇기 때문에 매번 시행의 확률이 바뀔 수 있다는 점, 그리고 복원 추출에 대해 다루었던 음이항 분포와는 달리 음초기하 분포는 비복원 추출에 대해 다룬다는 점이 차이점이다. 즉, 복권 구매처럼 확률이 불변하는 베르누이 시행 A에 대해 A가 k 번째 성공할 때까지의 확률에 대해 다루는 확률분포가 음이항 분포라면, 주머니 속에서 무작위로 ..

2023. 2. 24. 17:51

통계학/이산확률분포

[이산확률분포] 6. 음이항 분포: Negative Binomial Distribution

음이항 분포(Negative Binomial Distribution)는 기하 분포(Geometric Distribution)를 일반화시킨 확률분포이다. 음이항 분포와 기하 분포의 차이점은 아래와 같이 정리할 수 있다. 음이항 분포는 '성공 확률이 p인 베르누이 시행 A를 여러 번 시행해 k 번째 성공할 때까지의 확률'에 대해 다룬다. 기하 분포는 '성공 확률이 p인 베르누이 시행 A를 여러 번 시행해 처음 성공할 때까지의 확률'에 대해 다룬다. 즉, 음이항 분포에서 k에 1을 대입하였을 때의 특수한 경우를 따로 기하 분포라는 이름으로 부르는 것이다. 베르누이 시행 A에 대해, x: A가 k 번째 성공할 때까지 시도한 A의 횟수, k: 목표하는 성공한 베르누이 시행의 횟수, p: 베르누이 시행 A가 성공할..

2023. 2. 24. 16:36

통계학/이산확률분포

[이산확률분포] 5. 기하 분포: Geometric Distribution

기하 분포(Geometric Distribution)는 베르누이 시행과 관련된 이산확률분포 중 하나이다. 기하 분포는 여타 다른 확률분포들과는 달리 '몇 번을 성공하느냐'가 아닌, '몇 번을 시도한 끝에 처음으로 성공하였느냐'를 다루는 확률분포인 것이 특징이라고 할 수 있다. 같은 다회의 베르누이 시행을 다루는 이항 분포와 기하 분포를 서로 비교하자면, 아래와 같은 예를 들 수 있다. 당첨 확률이 p%인 복권을 n회 구매해서 x회 당첨될 확률을 구하는 것은 이항 분포이다. 당첨 확률이 p%인 복권을 n회 구매한 끝에 처음으로 당첨될 확률을 구하는 것은 기하 분포이다. 이처럼 이항 분포는 n회 중 x회 성공할 확률을 구하는 확률분포라면, 기하 분포는 n회 시도한 끝에 처음 성공할 확률을 구하는 확률분포라고..

2023. 2. 24. 16:12

통계학/이산확률분포

[이산확률분포] 4. 초기하 분포: Hypergeometric Distribution

초기하 분포(Hypergeometric Distribution)는 이산확률분포의 일종으로, 이항 분포와는 비슷하지만 다른 이산확률분포라고 할 수 있다. 구슬 주머니에 빨간 구슬 5개, 파란 구슬 3개, 초록 구슬 3개로 총 11개의 구슬이 있다고 가정하자. 이 11개의 구슬이 들어있는 주머니에서 무작위로 3개의 구슬을 꺼내는 시행을 한다고 가정하자. 이 때 추출된 3개의 구슬들 중 빨간 구슬이 2개 포함되어 있을 확률을 구할 때, 우리는 초기하 분포를 사용하여 그 확률을 구할 수 있다. 초기하 분포와 이항 분포의 차이점 중 하나는, 초기하 분포는 비복원 추출, 이항 분포는 복원 추출을 전제한 확률분포라는 점이다. 초기하 분포는 한 번 특정 원소를 추출하면 해당 원소를 다시 추출할 수 없는 것을 전제로 하..

2023. 2. 20. 23:06

통계학/이산확률분포

[이산확률분포] 3. 다항 분포: Multinomial Distribution

베르누이 분포(Bernouli Distribution)와 이항 분포(Binomial Distribution)는 결과가 성공/실패, 앞면/뒷면과 같이 단 두 개만 존재할 때의 이산확률분포였다. 다항 분포(Multinomial Distribution)는 결과가 3개 이상인 시행에 대해 다루는 이산확률분포라고 할 수 있다. 다항 분포에서 결과의 개수가 2개면 그것은 이항 분포와 같다. 이항 분포를 확장시키면 다항 분포라고 할 수 있다. 총 시행 횟수를 n이라 하고, x1, x2, x3 등을 각 결과들의 횟수, p1, p2, p3 등을 각 결과들의 확률이라고 할 때, 다항 분포의 확률질량함수 f(x)는 아래와 같다. $$ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{k}) = \frac{n!}{..

2023. 2. 15. 02:02