통계학/이산확률분포

[이산확률분포] 2. 이항 분포: Binomial Distribution

이항 분포(Binomial Distribution)는 이산확률분포의 한 종류로, 베르누이 시행을 여러 번 시행하는 경우의 확률분포를 이르는 말이다. 이항 분포는 아래와 같은 두 가지 특징을 가진다. 1. 이항 분포에서 이루어지는 각 시행은 서로 독립적인 베르누이 시행이다. 2. 각 시행의 확률은 시행에 따라 바뀌지 않고 고정된다. 한 마디로 베르누이 분포가 베르누이 시행 한 번에 대한 확률분포라면, 이항 분포는 베르누이 시행 여러 번에 대한 확률분포라고 할 수 있다. 예를 들어서 동전의 앞면이 나올 확률과 동전의 뒷면이 나올 확률이 각각 75%와 25%일 때, 동전을 10번 던져서 그 중 6번의 앞면이 나올 확률을 구할 때 우리는 이항 분포를 사용하여 그 확률을 구할 수 있다. 총 시행 횟수를 n, 원하..

2023. 2. 14. 21:58

통계학/이산확률분포

[이산확률분포] 1. 베르누이 분포: Bernouli Distribution

이산확률분포(Discrete probability distribution)는 이산확률변수를 확률변수로 가지는 확률분포를 말한다. 확률분포란 확률변수가 특정한 값을 가질 확률을 나타내는 함수를 이르는 말이다. 베르누이 분포(Bernouli Distribution)는 이산확률분포의 일종으로, 이산확률분포 중 가장 기초적인 확률분포이다. 베르누이 분포는 아래와 같은 세 가지 특징을 가진다. 1. 베르누이 분포의 시행은 성공/실패, 앞면/뒷면과 같이 오직 두 가지의 결과만을 가지고, 이를 베르누이 시행(Bernouli Trial)이라고 한다. 2. 베르누이 시행은 성공, 앞면과 같이 원하는 결과의 확률은 p, 실패, 뒷면과 같이 원하지 않는 결과의 확률은 q = 1 - p이며, 그 확률은 바뀌지 않고 고정된다...

2023. 2. 10. 17:53

통계학/기초 통계

[기초 통계] 25. 체비쇼프 부등식: Chebyshev's Inequality

체비쇼프 부등식(Chebyshev's Inequality)은 어떤 확률변수의 평균과 표준편차를 활용해 특정 확률의 최솟값을 알아낼 수 있는 통계학의 절대부등식이다. 이름의 유래는 러시아의 수학자 파프누티 체비쇼프(Pafnuty Chebyshev, 1821 ~ 1894)에게서 유래했다. 체비쇼프 부등식에 따르면 어떤 확률변수 X의 평균 μ와 표준편차 σ, 그리고 양의 상수 k에 대해 아래의 식이 성립한다. $$ P( \mu - k \sigma < X < \mu + k \sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2} $$ 즉, 확률변수 X가 μ ± kσ의 범위 안에 속할 확률은 최소 1 - 1/k^2 이상이라는 것을 체비쇼프 부등식을 통해 확인할 수 있다.

2023. 2. 8. 14:04

통계학/기초 통계

[기초 통계] 24. 마르코프 부등식: Markov's Inequality

마르코프 부등식(Markov's Inequality)은 확률과 기댓값 사이의 관계를 설명하는 통계학의 절대부등식이다. 이름의 유래는 러시아의 수학자 안드레이 마르코프(Andrai Markov, 1856 ~ 1922)에게서 유래했다. 마르코프 부등식에 따르면 음이 아닌 확률변수 X와 상수 t에 대해 아래의 식이 성립한다. $$ \frac{E(X)}{t} \ge P(X \ge t) $$ 음이 아닌 확률변수 X에 대해 이산확률변수의 경우 마르코프 부등식의 증명은 아래와 같이 할 수 있다. $$ \begin{flalign*} E(X) & = \overset{\infty}{\underset{x = 1}{\Sigma}} x \cdot f(x) \\ & = \overset{t - 1}{\underset{x = 1}{..

2023. 2. 7. 20:55

통계학/기초 통계

[기초 통계] 23. 상관계수: Correlation Coefficient

상관계수(Correlation Coefficient)는 두 확률변수 간의 관계의 척도를 나타내는 수치이다. 쉽게 말해 상관계수의 절댓값이 1에 가까울 수록 두 확률변수는 서로 매우 강한 상관관계를 가지고, 상관계수의 절댓값이 0에 가까울 수록 두 확률변수는 서로 상관관계가 거의 없다고 여겨진다. 상관계수는 공분산과 비슷한 개념이지만, 공분산보다 더욱 포괄적인 개념이라고 볼 수 있다. 공분산은 각 확률변수의 단위(km, kg 등)가 공분산에 포함되기 때문에, 그 결과에 있어서 명확하지 못한 단점이 있다. 반면 상관계수는 단위에 상관없이 두 확률변수 간의 관계를 확실하게 나타낼 수 있다는 장점이 있다. 상관계수의 정의는 공분산과 표준편차를 활용하여 아래와 같이 나타낼 수 있다. $$ \rho_{XY} = \..

2023. 2. 7. 15:21

통계학/기초 통계

[기초 통계] 22. 공분산: Covariance

공분산(Covariance)은 두 확률변수 사이의 선형 관계를 나타내는 값이다. 예를 들어 두 확률변수 X와 Y 사이의 공분산이 양수인 경우, X가 증가하면 Y도 증가한다. 두 확률변수 사이의 공분산이 음수인 경우, X가 증가하면 Y는 감소한다. 공분산은 기댓값의 일종으로, 아래와 같은 식으로 정의될 수 있다. $$ Cov(X, Y) = E[(X - \mu_{x})(Y - \mu_{y})] $$ (X - μ)와 (Y - μ)는 각각 해당 확률변수들의 편차를 의미한다. 즉, 공분산은 두 확률변수의 편차들의 곱의 기댓값이라고 할 수 있다. 공분산은 아래와 같은 기호로도 표현할 수 있다. $$ \sigma_{XY} $$ 이산확률변수 X, Y의 공분산은 아래와 같은 식으로 구할 수 있다. $$ \begin{al..

2023. 2. 7. 14:06